<s>格林_nr 函数_n 的_u 物理_n 意义_n 是_v 什么_r ？_w</s>
<s>格林_nz 函数_n 本质_n 上_f 就_d 是_v 数值_n 对角_vn 化_vn 方法_n 大行其道_l 以前_f ，_w 处理_v 任意_d 哈密顿_n 量_n 的_u 系统性_n 的_u 解析_vn 方法_n 。_w</s><s>对于_p 现代_t 学者_n 来说_u 可能_v 略_d 显_v 陌生_a ，_w 因为_c 程序_n 语言_n 只_d 需要_v 一行_n 命令_n 就_d 能_v 轻易_d 实现_v 对角_n 化_v 的_u 处理_vn ，_w 格林_nz 函数_n 的_u 使用_vn 频率_n 当然_d 大大_d 缩减_v 。_w</s><s>但_c 如果_c 让_v 你_r 自己_r 写_v 一_m 段_q 对角化_v 的_u 程序_n ，_w 你_r 肯定_d 会_v 说_v ，_w 算了_v ，_w 我们_r 还是_d 用_p 格林_nz 函数_n 吧_y 。_w</s><s>对于_p 任意_b 一_m 个_q 初始_n 波_n 函数_n ，_w 一_m 个_q 不_d 含_v 时_Ng 的_u 哈密顿_n 量_n ，_w 它_r 的_u 形式_n 解_v 总_d 可以_v 写为_v ：_w 这里_r 的_u 没有_v 特别_a 含义_n ，_w 可以_v 是_v 任意_b 量子_n 数_n 。_w</s><s>在_p 路径_n 积分_n 中_f 它们_r 表示_v 粒子_n 初_t 末_t 的_u 位置_n 。_w</s><s>显然_a ，_w 对于_p 这样_r 的_u 解析_vn 形式_n 来说_u ，_w 最_d 好_a 的_u 处理_vn 方式_n 就_d 是_v 傅立叶_nr 变换_v ，_w 这_r 是_v 现代_t 物理_n 最_d 可靠_a 的_u 方法_n 。_w</s><s>不妨_v 定义_v 传播_v 子_Ng 对_p 其_r 做_v 傅立叶_nr 变换_v ，_w 就_d 得到_v 格林_nz 函数_n 引入_v 的_u 小量_n 是_v 用来_v 处理_v 谱_Ng 的_u 展宽_vn 。_w</s><s>两_m 边_f 求_v 迹_Ng ，_w 哈密顿_n 量_n 用_p 本_r 征_n 能量_n 表示_v ，_w 并_c 由_p ，_w 即_v 得_v 态_Ng 密度_n 为_v 解_v 传播_v 子_Ng 及_c 格林_nz 函数_n 的_u 方法_n 很多_m ，_w 这里_r 介绍_v 一下_m 准_h 经典_n 动力学_n 的_u 做法_n ，_w 即_v 通过_p WKB_nx 近似_a 给出_v 的_u vanVleck_nx 传播_v 子_Ng 。_w</s><s>令_n 波_n 函数_n 为_v 根据_p 玻姆_nz 力学_n 的_u 推导_vn 结果_n ，_w 密度_n ，_w 在_p 坐标_n 空间_n 中_f 满足_v 流体_n 连续性_n 方程_n ，_w 因此_c 一_m 个_q 点_n 粒子_n 在_p 动量_n 空间_n 总是_d 完全_ad 均匀_ad 分布_v 的_u ，_w 即_v 这里_r C_nx 是_v 一_m 个_q 常数_n ，_w 由_p 初_t 末_f 波_n 函数_n 的_u 内_f 积_n 来_v 决定_v ，_w 加_v 一_m 撇_q 表示_v 轨迹_n 的_u 末_f 态_Ng 。_w</s><s>另_r 一_m 方面_c ，_w 哈密顿_nr 主_n 函数_n 满足_v 的_u 方程_n 为_v 于是_c ，_w van_nx Vleck_nx 传播_v 子_Ng 就_d 可_v 表示_v 为_v 指_v 前_f 因子_n 由_p 自由_a 粒子_n 动能_n 决定_v 。_w</s><s>我们_r 用_p 路径_n 积分_n 来_v 解_v 传播_vn 子_Ng 。_w</s><s>由于_c 点_n 粒子_n 模型_n 忽略_v 了_u 波动_vn 性_n ，_w 如果_c 要_v 完整_ad 考虑_v 量子_n 性_n 则_c 需要_v 严格_ad 对_p 所有_b 路径_n 积分_v ，_w 我们_r 尝试_v 着_u 将_p 两_m 者_r 结合_v 起来_v 。_w</s><s>为此_d ，_w 我们_r 不妨_d 做_v 这样_r 的_u 假定_vn ：_w 同_v 一_m 个_q 粒子_n 在_p 不同_a 的_u 势能_n 作用_v 下_f ，_w 其_r 量子_n 不确定性_n 是_v 相同_a 的_u 。_w</s><s>或者说_c ，_w 路径_n 的_u 量子_n 涨落_vn 对_p 相位_n 的_u 贡献_n 不_d 依赖_v 于_p 势能_n 。_w</s><s>严格_a 的_u 证明_vn 这里_r 略去_v ，_w 只_d 讲_v 一_m 个_q 物理_n 的_u 理解_vn 。_w</s><s>由于_c 传播_v 子_n 本质_n 就_d 是_v e_nx 指数_n 上_f 有_v 一_m 个_q 作用量_n 作为_v 相位_vn 因子_n ，_w 而_c 作用量_n 正_d 是_v 对_p 相_vn 体积_n 的_u 度量_n 。_w</s><s>一_m 个_q 微观_n 粒子_n 无论_c 是_v 局域_n 的_u 还是_c 离_v 域_Ng 的_u ，_w 我们_r 都_d 假定_v 其_r 所_u 处_v 的_u 某_r 一_m 量子_n 态_Ng 具有_v 相同_a 的_u 相_b 体积_n 。_w</s><s>因此_c ，_w 对于_p 路径_n 涨落_vn 部分_n 的_u 贡献_n ，_w 我们_r 只_d 需要_v 研究_v 最_d 简单_a 的_u 自由_a 粒子_n ，_w 就_d 可_v 认为_v 其它_r 所有_b 的_u 势能_n 下_f ，_w 这_r 一_m 部分_n 的_u 贡献_n 皆_d 为_v 相同_a 。_w</s><s>于是_c ，_w 任意_b 势能_n 的_u 传播_vn 子_n 可_v 定义_v 为_v 这里_r PI_nx 表示_v 由_p 路径_n 积分_n 计算_v 的_u 结果_n ，_w SC_nx 表示_v 准_a 经典_n 计算_vn 的_u 结果_n ，_w 其中_r 自由_a 粒子_n 的_u 准_a 经典_n 结果_n 可_v 直接_ad 通过_p 令_n 中_f 的_u 势能_n 为_p 0_m 得到_v 。_w</s><s>由此_d ，_w 我们_r 的_u 计算_vn 可_v 分为_v 两_m 步_q ，_w 用_p 准_a 经典_n 计算_v 得到_v 任何_r 势能_n 的_u 结果_n ，_w 再_d 用_p 路径_n 积分_n 得到_v 自由_a 粒子_n 的_u 结果_n 。_w</s><s>先_d 看_v 第一_m 步_q 。_w</s><s>以_p 质量_n 为_v m_nx 、_w 频率_n 为_v 的_u 一_m 维_q 简_Ag 谐_n 振_vn 子_n 为_v 例_n ，_w 要_v 计算_v 其_r 经典_n 作用_n 量_n 需要_v 先_d 确定_v 经典_n 轨迹_n 。_w</s><s>简_a 谐_a 振_Vg 子_Ng 的_u 经典_n 轨迹_n 除了_p 平庸_a 的_u 待_vn 在_p 原点_n 不_d 动_v ，_w 就_d 是_v 标准_a 的_u 正_b 弦_n 函数_n ，_w 即_v 经过_p 简单_a 的_u 积分_vn ，_w 其_r 经典_n 作用_n 量_n 不_d 难_a 得到_v 再_d 看_v 第二_m 步_q 。_w</s><s>自由_a 粒子_n 的_u 路径_n 积分_n 非常_d 简单_a ，_w 由于_c 动量_n 始终_d 不_d 变_v ，_w 并且_c 哈密顿_n 量_n 中_f 没有_v 势能_n ，_w 所以_c 其_r 作用_n 量_n 可_v 直接_ad 计算_v 为_v 请_v 注意_v ，_w 这里_r 的_u 作用_n 量_n 对_p 坐标_n 求_v 二_m 阶_q 导_n 数_n 为_v 0_m ，_w 故而_c 与_p 准_a 经典_n 的_u 传播_vn 子_Ng 产生_v 了_u 差异_n ，_w 这_r 也_d 是_v 这个_r 取巧_vn 方案_n 能_v 实施_v 的_u 原因_n 。_w</s><s>按照_p 更_d 初始_b 的_u 定义_n ，_w 直接_ad 将_p 该_r 作用_n 量_n 放到_v e_nx 指数_n 上_f ，_w 然后_c 对_p 动量_n 积分_v ，_w 即_v 得_v 现在_t ，_w 我们_r 已经_d 有_v 了_u 所有_b 需要_v 的_u 结果_n ，_w 将_p 它们_r 分别_d 代入_v 相应_v 的_u 公式_n ，_w 就_d 可以_v 得到_v 简_Ag 谐_a 振_vn 子_Ng 的_u 传播_vn 子_Ng 。_w</s><s>简单_a 起见_u ，_w 这里_r 只_d 给出_v 的_u 结果_n ，_w 即_v 虽然_c 我们_r 可以_v 进一步_d 分析_v 这个_r 看起来_v 有点_d 像_v 高斯_nr 函数_n 的_u 传播_vn 子_Ng 的_u 各_r 种_q 性质_n ，_w 但_c 读者_n 可能_v 会_v 觉得_v 这个_r 形式_n 并_d 不_d 如_v 想像_v 中_f 那么_r 简捷_a 。_w</s><s>为此_d ，_w 我们_r 可以_v 换_v 一_m 个_q 维度_n ，_w 将_p 其_r 变到_v 虚_a 时间_n 轴上_s 。_w</s><s>与_p 前面_f 讲_v 的_u 场论_n 一样_a ，_w 做_v Wick_nx 旋转_vn ，_w 则_c 得_v ，_w 再_d 对_p 坐标_n 做_v 高斯_n 积分_n ，_w 就_d 得到_v 这_r 是_v 一_m 个_q 多么_d 完美_a 的_u 结果_n ！_w</s><s>我们_r 完全_ad 通过_p 路径_n 积分_n 的_u 计算_vn 严格_ad 导出_v 了_u 玻色_n -_w 爱因斯坦_nr 统计_v 的_u 配分_n 函数_n ！_w</s><s>在_p 传统_n 统计_vn 物理_n 的_u 诠释_vn 中_f ，_w 量子_n 统计_vn 本_d 应_v 是_v 大量_m 微观_n 粒子_n 表现_v 出_v 的_u 集体_n 行为_n ，_w 这里_r 却_d 是_v 单个_b 自由度_n 的_u 简_Ag 谐_a 振_vn 子_Ng 所_u 给出_v 的_u 结果_n 。_w</s><s>这里_r ，_w 通过_p 格林_nz 函数_n 的_u 推导_vn ，_w 不仅_c 再次_d 反映_v 了_u 原子_n 振动_vn 作为_p 玻色_n 子_Ng 的_u 事实_n ，_w 为_p 对_p 其_r 的_u 简化_vn 铺路_v ，_w 也_d 清晰_a 地_u 展现_v 出_v 了_u 温度_n 的_u 微观_n 本质_n 。_w</s><s>它_r 不_d 是_v 大量_m 粒子_n 的_u 平均_a 动能_n ，_w 而_c 是_v 时间_n 的_u 另_r 一_m 个_q 维度_n ，_w 是_v 自然界_n 另_r 一_m 个_q 传播_v 的_u 方向_n 。_w</s><s>控制_v 其_r 传播_v 的_u 是_v 同_v 一_m 个_q 物理_n 量_n ，_w 即_v 作用_vn 量_n ，_w 它_r 通过_p e_nx 指数_n 的_u 相位_n 因子_n 来_v 影响_v 不同_a 微观_n 状态_n 在_p 传播_vn 过程_n 中_f 所_u 占_v 的_u 权_n 重_n ，_w 经典_n 统计_vn 的_u 概率_n 与_c 量子_l 力学_l 的_u 概率_n 有_v 了_u 更加_d 统一_a 的_u 表达_vn 。_w</s>
