格林 函数 的 物理 意义 是 什么 ？
格林 函数 本质 上 就 是 数值 对角 化 方法 大行其道 以前 ， 处理 任意 哈密顿 量 的 系统性 的 解析 方法 。 对于 现代 学者 来说 可能 略 显 陌生 ， 因为 程序 语言 只 需要 一行 命令 就 能 轻易 实现 对角 化 的 处理 ， 格林 函数 的 使用 频率 当然 大大 缩减 。 但 如果 让 你 自己 写 一 段 对角化 的 程序 ， 你 肯定 会 说 ， 算了 ， 我们 还是 用 格林 函数 吧 。 对于 任意 一 个 初始 波 函数 ， 一 个 不 含 时 的 哈密顿 量 ， 它 的 形式 解 总 可以 写为 ： 这里 的 没有 特别 含义 ， 可以 是 任意 量子 数 。 在 路径 积分 中 它们 表示 粒子 初 末 的 位置 。 显然 ， 对于 这样 的 解析 形式 来说 ， 最 好 的 处理 方式 就 是 傅立叶 变换 ， 这 是 现代 物理 最 可靠 的 方法 。 不妨 定义 传播 子 对 其 做 傅立叶 变换 ， 就 得到 格林 函数 引入 的 小量 是 用来 处理 谱 的 展宽 。 两 边 求 迹 ， 哈密顿 量 用 本 征 能量 表示 ， 并 由 ， 即 得 态 密度 为 解 传播 子 及 格林 函数 的 方法 很多 ， 这里 介绍 一下 准 经典 动力学 的 做法 ， 即 通过 WKB 近似 给出 的 vanVleck 传播 子 。 令 波 函数 为 根据 玻姆 力学 的 推导 结果 ， 密度 ， 在 坐标 空间 中 满足 流体 连续性 方程 ， 因此 一 个 点 粒子 在 动量 空间 总是 完全 均匀 分布 的 ， 即 这里 C 是 一 个 常数 ， 由 初 末 波 函数 的 内 积 来 决定 ， 加 一 撇 表示 轨迹 的 末 态 。 另 一 方面 ， 哈密顿 主 函数 满足 的 方程 为 于是 ， van Vleck 传播 子 就 可 表示 为 指 前 因子 由 自由 粒子 动能 决定 。 我们 用 路径 积分 来 解 传播 子 。 由于 点 粒子 模型 忽略 了 波动 性 ， 如果 要 完整 考虑 量子 性 则 需要 严格 对 所有 路径 积分 ， 我们 尝试 着 将 两 者 结合 起来 。 为此 ， 我们 不妨 做 这样 的 假定 ： 同 一 个 粒子 在 不同 的 势能 作用 下 ， 其 量子 不确定性 是 相同 的 。 或者说 ， 路径 的 量子 涨落 对 相位 的 贡献 不 依赖 于 势能 。 严格 的 证明 这里 略去 ， 只 讲 一 个 物理 的 理解 。 由于 传播 子 本质 就 是 e 指数 上 有 一 个 作用量 作为 相位 因子 ， 而 作用量 正 是 对 相 体积 的 度量 。 一 个 微观 粒子 无论 是 局域 的 还是 离 域 的 ， 我们 都 假定 其 所 处 的 某 一 量子 态 具有 相同 的 相 体积 。 因此 ， 对于 路径 涨落 部分 的 贡献 ， 我们 只 需要 研究 最 简单 的 自由 粒子 ， 就 可 认为 其它 所有 的 势能 下 ， 这 一 部分 的 贡献 皆 为 相同 。 于是 ， 任意 势能 的 传播 子 可 定义 为 这里 PI 表示 由 路径 积分 计算 的 结果 ， SC 表示 准 经典 计算 的 结果 ， 其中 自由 粒子 的 准 经典 结果 可 直接 通过 令 中 的 势能 为 0 得到 。 由此 ， 我们 的 计算 可 分为 两 步 ， 用 准 经典 计算 得到 任何 势能 的 结果 ， 再 用 路径 积分 得到 自由 粒子 的 结果 。 先 看 第一 步 。 以 质量 为 m 、 频率 为 的 一 维 简 谐 振 子 为 例 ， 要 计算 其 经典 作用 量 需要 先 确定 经典 轨迹 。 简 谐 振 子 的 经典 轨迹 除了 平庸 的 待 在 原点 不 动 ， 就 是 标准 的 正 弦 函数 ， 即 经过 简单 的 积分 ， 其 经典 作用 量 不 难 得到 再 看 第二 步 。 自由 粒子 的 路径 积分 非常 简单 ， 由于 动量 始终 不 变 ， 并且 哈密顿 量 中 没有 势能 ， 所以 其 作用 量 可 直接 计算 为 请 注意 ， 这里 的 作用 量 对 坐标 求 二 阶 导 数 为 0 ， 故而 与 准 经典 的 传播 子 产生 了 差异 ， 这 也 是 这个 取巧 方案 能 实施 的 原因 。 按照 更 初始 的 定义 ， 直接 将 该 作用 量 放到 e 指数 上 ， 然后 对 动量 积分 ， 即 得 现在 ， 我们 已经 有 了 所有 需要 的 结果 ， 将 它们 分别 代入 相应 的 公式 ， 就 可以 得到 简 谐 振 子 的 传播 子 。 简单 起见 ， 这里 只 给出 的 结果 ， 即 虽然 我们 可以 进一步 分析 这个 看起来 有点 像 高斯 函数 的 传播 子 的 各 种 性质 ， 但 读者 可能 会 觉得 这个 形式 并 不 如 想像 中 那么 简捷 。 为此 ， 我们 可以 换 一 个 维度 ， 将 其 变到 虚 时间 轴上 。 与 前面 讲 的 场论 一样 ， 做 Wick 旋转 ， 则 得 ， 再 对 坐标 做 高斯 积分 ， 就 得到 这 是 一 个 多么 完美 的 结果 ！ 我们 完全 通过 路径 积分 的 计算 严格 导出 了 玻色 - 爱因斯坦 统计 的 配分 函数 ！ 在 传统 统计 物理 的 诠释 中 ， 量子 统计 本 应 是 大量 微观 粒子 表现 出 的 集体 行为 ， 这里 却 是 单个 自由度 的 简 谐 振 子 所 给出 的 结果 。 这里 ， 通过 格林 函数 的 推导 ， 不仅 再次 反映 了 原子 振动 作为 玻色 子 的 事实 ， 为 对 其 的 简化 铺路 ， 也 清晰 地 展现 出 了 温度 的 微观 本质 。 它 不 是 大量 粒子 的 平均 动能 ， 而 是 时间 的 另 一 个 维度 ， 是 自然界 另 一 个 传播 的 方向 。 控制 其 传播 的 是 同 一 个 物理 量 ， 即 作用 量 ， 它 通过 e 指数 的 相位 因子 来 影响 不同 微观 状态 在 传播 过程 中 所 占 的 权 重 ， 经典 统计 的 概率 与 量子 力学 的 概率 有 了 更加 统一 的 表达 。
