超图 与 图 公平 划分 的 ｌ － 元组
金晶 许宝刚
１ ． 南京师范大学 数学 科学 学院 ， 南京 ２１００２３ ；
２ ． 南京师范大学 泰州 学院 ， 泰州 ２２５３００
摘要 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 一个 图 或 超图 的 某 顶点 子集 ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 该图 中 端点 全部 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 的 边数 ． Ｆａｎ 和 Ｈｏｕ 证明 了 每个 最大 度为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 阶图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 部 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 成立 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 最大 度为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 阶 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ， 本文 证明 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 部 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 满足 ｅｑｕａｔｉｏｎ ； 也 证明 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 部 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 元组 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
关键词 公平 划分 一致 超图 简单 图
１ 引言
令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 一个 图 （ 或 超图 ） ， 我们 分别 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 来 表示 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 顶点 集合 和 边 集合 ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 两个 不 交 子集 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 端点 都 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 边数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 至少 有 一个 端点 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 边数 ， 而 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 与 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 有 非空交 的 边数 ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 集合 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 互不 相交 的 非 空子 集 ， 若 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 称 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 部 划分 或 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 ．
图 划分 问题 寻求 的 是 具有 某种 特定 性质 的 划分 ， 例如 ， 最大 割 问题 指 的 是 寻找 图 的 一个 二部 划分 满足 两 部分 之间 的 边数 达到 最大 （ 这是 Ｋａｒｐ 提出 的 最早 的 ＮＰ （ ｎｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ － ｔｉｍｅ ） 完全 问题 之一 ） ． 有关 这个 问题 的 更 多 内容 参见 文献 ［ ２ ， ３ ］ ． 在实践中 ， 人们 往往 需要 寻找 同时 优化 多个 变量 的 划分 ， 这种 划分 问题 被 称为 公平 划分 问题 ． 例如 ， 瓶颈 二部 划分 问题 ， 指 的 是 寻找 图 的 一个 二部 划分 （ Ｖ１ ， Ｖ２ ） ， 要求 ｅｑｕａｔｉｏｎ 达到 最小 （ 参见 文献 ［ ４ ］ ） ． 近年来 ， 这 类 问题 被 广泛 研究 ． Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 证明 了 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 图 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 满足 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 之后 ， Ｘｕ 和 Ｙｕ 证实 了 Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 的 一个 猜想 ， 即 证明 了 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 图 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 不仅 满足 （ １．１ ） ， 而且 成立 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 读者 可 参见 文献 ［ ６ ， ８ – １４ ］ 了解 更 多 信息 ． 在 文献 ［ ７ ］ 中 ， Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 提出 以下 问题 ： 对于 整数 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 是否 存在 最小 正整数 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 使得 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 图 都 存在 满足条件 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ ？ 并 提出 了 如下 的 猜想 ：
猜想 １．１ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一个 整数 ， 则 任意 一个 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 顶点 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 图 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 所有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 下式 成立 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ． Ｍａ 和 Ｙｕ 证明 了 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 而 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 最近 ， Ｆａｎ 和 Ｈｏｕ ［ １６ ］ 证实 了 猜想 １．１ ， 即 证明 了 下面 的 定理 ： 定理 １．１ 任意 一个 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 顶点 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任给 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 下式 成立 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 超图 的 公平 划分 问题 似乎 更加 困难 ， 在 文献 ［ １７ ］ 中 ， Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 提出 如下 猜想 ：
猜想 １．２ ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ， 则 任意 一个 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 成立 ． 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 已 证实 了 猜想 １．２ ， 且 在 文献 ［ ７ ］ 中 证明 了 任意 一个 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 存在 一个 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 其中 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 最近 ， Ｈｏｕ 等 证明 了 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时该 猜想 正确 ， 在 文献 ［ １９ ， ２０ ］ 证明 了 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 或 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 该 猜想 也 成立 ． 文献 ［ １９ ］ 也 渐近 地 证明 了 该 猜想 在 时 的 正确性 ． 基于 以上 结论 ， 自然 地 可以 提出 以下 问题 ： 对于 任意 正整数 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 任意 一个 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 Ｈ 是否 存在 一个 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 元组 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 都 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 成立 ． 而 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 该 问题 就 隐含 了 Ｂｏｌｌｏｂ´ａｓ 和 Ｓｃｏｔｔ 关于 相交 问题 的 如下 猜想 ：
猜想 １．３ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 整数 ， 则 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 存在 一个 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 我们 有 条件 地 解决 了 猜想 １．３ ， 证明 了 下面 的 定理 ： 定理 １．２ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 正 实数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ． 若则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 元组 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由 定理 １．２ 可以 直接 得到 推论 １．１ ． 推论 １．１ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ． 若 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 元组 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由 推论 １．１ 可以 得到 推论 １．２ ． 推论 １．２ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ． 若 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 每个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ， Ｆａｎ 和 Ｈｏｕ 证明 了 图 Ｈ （ 即 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ） 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 成立 ． 他们 还 指出 星图 ｅｑｕａｔｉｏｎ 达到 了 上界 的 主项 ． 本文 将 此 结果 推广 到 了 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ． 定理 １．３ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 给定 的 整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 任意 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一致 超图 ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 ｅｑｕａｔｉｏｎ 对于 所有 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 都 成立 ． 当 考虑 简单 图且 仅 考虑 ｅｑｕａｔｉｏｎ 元组 的 支撑 的 边 数时 ， 我们 略微 降低 了 文献 ［ １６ ］ 中上界 的 尾数 部分 ． 定理 １．４ 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 含有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 顶点 ｅｑｕａｔｉｏｎ 条边 且 最大 度为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 图 ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 一个 ｅｑｕａｔｉｏｎ 划分 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 使得 对于 任意 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 下式 成立 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 我们 将 在 第 ２ 节中 证明 定理 １．２ 和 １．３ ， 在 第 ３ 节中 证明 定理 １．４ ．

矩 相关 保费 原理 中 风险 保费 的 经验 厘定
章溢 李志龙温 利民
１ ． 江西财经大学 统计 学院 ， 南昌 ３３００１３ ；
２ ． 江西师范大学 数学 与 信息科学 学院 ， 南昌 ３３００２２
摘要 在 传统 的 Ｂ¨ｕｈｌｍａｎｎ 信度 理论 中 ， 信度 估计 仅仅 适合 净 保费 原理 ， 并且 很难 直接 推广 到 更 一般 的 保费 原理 中 ． 本文 根据 随机变量 的 矩母 函数 定义 一种 统一 的 保费 原理 — 矩 相关 保费 原理 ， 进而 ， 将 信度 理论 的 思想 运用 于 估计 风险 随机变量 的 矩母 函数 ， 给出 矩 相关 保费 原理 中 风险 保费 的 经验 厘定 估计 ， 并 证明 估计 的 统计 性质 ． 结果表明 ， 在 净 保费 原理 和 指数 保费 原理 中 ， 已有 的 信度 估计 是 本文 估计 的 特殊 情形 ； 在 方差 保费 原理 中 ， 本文 得到 的 估计 要 优于 已有 的 信度 估计 ． 最后 ， 通过 数值 模拟 的 方法 验证 新 的 信度 估计 的 相合 性 和 渐近 正态性 ， 并 在 小 样本 条件 下 比较 本文 估计 与 已有 估计 的 均 方 误差 ．
关键词 矩 相关 保费 原理 信度 估计 强 相合 性 渐近 正态 性经验 Ｂａｙｅｓ 估计
１ 引言
信度 理论 ， 也 称为 保费 的 经验 厘定 ， 是 精算师 通过 综合 运用 风险 的 先验 信息 和 索赔 信息 对 保费 进行 估计 并 校正 的 定价 方法 ． 在 经典 的 信度 理论 中 ， 信度 估计 常常 表达 为 个体 保费 和 聚合 保费 加权 平均 ， 其中 权重 称为 信度 因子 ． 由于 信度 估计 形式 简单 ， 容易 执行 且 易于 解释 ， 因而 被 广泛 运用 于 汽车 损失 保险 、 责任保险 、 责任准备 评估 等 非 寿险 精算 领域 ． 现代 的 “ 无 分布 ” 信度 理论 可追溯 到 Ｂ¨ｕｈｌｍａｎｎ ． 对 信度 理论 的 详细 介绍 ， 可 参见 文献 ［ ２ – ５ ］ ．
根据 破产 理论 ， 若 保险公司 仅仅 收取 保单 的 净 保费 ， 则 保险人 必将 破产 ． 从 风险 度量 的 角度 来看 ， 由于 不 满足 保费 原理 的 非负 安全 负荷 性 ， 净 保费 原理 在 实际 中 不能 直接 被 运用 ． 因此 ， 各种 保费 原理 下 风险 保费 的 经验 厘定 研究 成为 信度 理论 的 热门 领域 ， Ｂ¨ｕｈｌｍａｎｎ 研究 了 方差 保费 原理 中 近似 信度 估计 问题 ， 而 Ｇｅｒｂｅｒ 将 平方 损失 函数 修改 为 指数 加权 损失 函数 ， 给出 了 Ｅｓｓｃｈｅｒ 保费 原理 下 的 信度 估计 ． 然而 ， 文献 ［ ９ ］ 证明 了 Ｇｅｒｂｅｒ－型 信度 保费 并 不 满足 统计 中 的 重要 性质 — 相合 性 ， 提出 了 Ｅｓｓｃｈｅｒ 保费 原理 下新 的 信度 估计 ， 并 证明 了 新 的 信度 估计 满足 相合 性 ． 文献 ［ １０ ， １１ ］ 利用 类似 的 方法 研究 了 广义 加权 保费 和 指数 保费 原理 中 风险 保费 的 信度 估计 问题 ． 然而 ， 由于 大部分 保费 原理 并 不是 通过 损失 函数 来 定义 的 ， 因而 文献 ［ ８ – １１ ］ 通过 修改 损失 函数 的 方法 并 不适 用于 更 一般 的 保费 原理 ． 另一方面 ， 从 文献 ［ ８ – １１ ］ 给出 的 信度 估计 来看 ， 他们 给出 的 信度 估计 具有 较为 复杂 的 形式 ， 其中 包含 的 未知 结构 参数 难以估计 ．
注意 到 ， 风险 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 保费 原理 实际上 是 风险 的 分布 函数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 到 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一个 泛函 ， 而 随机变量 的 分布 函数 又 与 矩母 函数 相互 唯一 决定 ． 从 非 寿险 精算 中 常用 的 保费 原理 的 定义 来看 ， 有 很大 一部分 保费 原理 是 通过 风险 的 矩母 函数 定义 的 ． 因此 ， 本文 根据 随机变量 的 矩母 函数 定义 一种 新 的 保费 原理 — 矩 相关 保费 原理 ． 矩 相关 保费 原理 包括 了 非 寿险 精算 中 大部分 常用 的 保费 原理 ， 如净 保费 原理 、 期望值 原理 、 方差 保费 原理 、 标准差 保费 原理 、 修改 方差 保费 原理 、 Ｅｓｓｃｈｅｒ 保费 原理 和 指数 保费 原理 等 ． 进而 ， 通过 将 传统 的 信度 理论 方法 运用 于 矩母 函数 的 估计 ， 得到 矩 相关 保费 原理 中 风险 保费 的 信度 估计 ． 在 保单 组合 的 风险 模型 中 ， 我们 运用 经验 Ｂａｙｅｓ 方法 得到 结构 参数 的 估计 ， 给出 矩 相关 保费 原理 中 风险 保费 的 经验 Ｂａｙｅｓ 估计 ．
本文 余下 内容 安排 如下 ： 第 ２ 节 介绍 矩 相关 保费 原理 的 概念 和 性质 ； 第 ３ 节 给出 矩 相关 保费 原理 的 信度 估计 ， 并 证明 信度 估计 的 相合 性 和 渐近 正态性 ； 第 ４ 节 给出 结构 参数 的 估计 及其 统计 性质 ； 第 ５ 节 利用 数值 模拟 的 方法 验证 信度 估计 的 大 样本 性质 ， 并 在 净 保费 原理 、 方差 保费 原理 、 Ｅｓｓｃｈｅｒ 保费 原理 和 指数 保费 原理 中 比较 本文 提出 的 信度 估计 与 已有 的 信度 估计 的 均 方 误差 ； 最后 一节 对 全文 进行 了 总结 ， 提出 今后 进一步 的 研究 方向 ．
２ 矩 相关 保费 原理 的 概念 和 性质
风险 的 本质 就是 不确定性 ． 关于 风险 不确定性 研究 可 参见 文献 ［ １２ – １５ ］ ． 显然 ， 随机变量 是 描述 风险 的 最佳 工具 ． 设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 概率 空间 ｅｑｕａｔｉｏｎ 上 的 非负 随机变量 集合 ， 则 保费 原理 ｅｑｕａｔｉｏｎ 实际上 就 是从 ｅｑｕａｔｉｏｎ 到 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一个 泛函 ． 关于 保费 原理 的 详细 介绍 ， 可 参见 文献 ［ １６ ］ ．
对 某个 风险 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 定义 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 称为 风险 随机变量 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 矩母 函数 ． 注意 到 随机变量 的 矩 很 容易 通过 矩母 函数 得到 ， 例如 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 而 非 寿险 精算 中 的 大部分 保费 原理 都 可以 通过 风险 随机变量 的 矩来 表出 ， 例如 下面 的 一些 保费 原理 ： （ １ ） 期望值 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 退化 为净 保费 原理 ； （ ２ ） 方差 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ； （ ３ ） 修正 方差 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ； （ ４ ） 标准差 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ； （ ５ ） Ｅｓｓｃｈｅｒ 保费 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ； （ ６ ） 指数 保费 原理 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ．