图像去噪 的 ＲＯＦ 模型 的 几个 新 的 算法
许秋滨
（ 南京 审计 大学 统计 与 数学 学院 ， 南京 ２１１８１５ ）
摘要 本文 对 图像去噪 的 ＲＯＦ 模型 的 非线性 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ 构造 了 儿个 新 的 差分 格式 ． 用 不动点 迭代法 求解 得到 的 非线性 系统 ， 并 在 每 一步 的 迭代 中 用 代数 多重 网格法 求解 对应 的 大型 稀疏 线性方程组 ． 最后 对 不同 的 含有 高斯 白 噪声 的 图像 进行 了 处理 ， 结果表明 本文 的 算法 是 有效 的 和 可靠 的 ．
关键词 差分 格式 ； 图像去噪 ； 不动点 迭代 ； 代数 多重 网格法
１ 引言
本文 考虑 如下 的 图像 恢复 模型 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 被 恢复 图像 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 真实 图像 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 已知 的 线性 模糊 算子 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 高斯 白 噪声 ． 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 单位 算子 时 ， 图像 的 恢复 问题 变为 一个 去 噪 问题 ． 由 Ｒｕｄｉｎ ， Ｏｓｈｅｒ ， Ｆａｔｅｍｉ 提出 的 基于 全变分 的 图像去噪 ， 去模糊 的 模型 （ ＲＯＦ 模型 ） 是 图像 恢复 问题 的 主要 方法 之一 ． 基于 全变分 的 图像 恢复 问题 可以 描述 为 如下 的 极小 化 问题 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 称为 罚 函数参数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 称为 正则 化 参数 ， 一般 很小 ， （ １．１ ） 是 严格凸 的 并 有 唯一 解 ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 方程 是 适定 的 ． （ １．１ ） 相应 的 Ｅｕｌｅｒ － Ｌａｇｒａｎｇｅ 方程 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内积 的 伴随 算子 ． 由于 高 非线性 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 存在 ， 方程 （ １．２ ） 的 求解 是 困难 的 ． 扩散 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ 由于 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 方向 都 要 扩散 ， 所以 一般 是 比较 大 的 ． 对于 方程 （ １．２ ） 的 求解 已经 有 很多 方法 ， 如 时间 逼近 法 ， 不动点 迭代法 ， 关于 正则 化 参数 的 牛顿 迭代法 等 ． 在 ［ ５ ］ 中 ， 作者 用 了 不动点 迭代 并用 了 Ｋｒｙｌｏｖ 子 空间 加速 法 加速 迭代 的 收敛性 来 求解 方程 （ １．２ ） ， 在 内层 迭代 ， 用 了 代数 多重 网格法 来 求解 相应 的 线性方程组 ， 得到 了 很 好 的 结果 ． 本文 对 高阶 非线性 项矿 ｅｑｕａｔｉｏｎ 构造 了 几个 新 的 数值 差分 格式 ， 釆 用 ［ １ ］ 的 方法 对 去 噪 问题 进行 了 求解 ， 并 给出 了 相应 的 数值 结果 ．
本文 结构 如下 ： 第 ２ 节 给出 了 五点 差分 格式 ， 第 ３ 节对 非线性 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ 造 了 几个 新 的 格式 ， 第 ４ 节 给出 了 数值 实验 ， 第 ５ 节 给出 结论 ．
２ 数值 差分 格式 与 计算方法
下面 考虑 方程 （ １．２ ） 的 ｎｅｕｍａｎｎ 边界条件 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 区域 ｅｑｕａｔｉｏｎ 分为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 相同 的 块 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ
， １ ， ２ ， • • • ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 用来 代替 ， 下面 我们 用 标准 的 五点 差分 格式 来 离散 方程 （ ２．１ ） ， 得 如下 格式 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 本文 用到 的 符号 如下 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 因子 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 我们 将 在 下 一节 中 给出 ． （ ２．４ ） 可以 写成 如下 的 方程组 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ［ ３ ］ 用 如下 的 不动点 迭代 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． ［ ５ ］ 用 代数 多重 网格法 求解 相应 的 线性方程组 ， 并用 Ｋｒｙｌｏｖ 字 空间 法来 进行 加速 得到 了 很 好 的 计算结果 ， 本文 就是 利用 ［ ５ ］ 的 方法 对 不同 的 系数 Ｆ 璀 进行 求解 ， 并 给出 了 数值 结果 ．
３ 系数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 新 的 差分 格式
这 一节 我们 用 新 的 差分 方法 给出 系数 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
３．１ 向前 差分法
对于 非线性 项 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） 在 点 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 用 中心 差分 格式 来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 用 向前 差分 格式 来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 类似 的 ， 在 点 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 用 中心 差分 格式 来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 用 向前 差分 格式 来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 于是 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
３．２ 向 后 差分法
与 向前 差分 类似 ， 我们 用 在 点 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ） 和 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ） 的 分别 对 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 用 向 后 差分 ， 格式 如下 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
３．３ 中心 差分法
与 前面 格式 不同 的 是 ， 对 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 都 用 中心 差分法 ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
３．４ 最大 差分 格式
对于 非线性 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 在 点 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 我们 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 最大 模来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 同样 的 ， 在 点 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 我们 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 最大 模来 计算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 格式 如下 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
３．５ 最小 差分 格式
与 上面 的 格式 类似 ， 我们 选取 最小 模来 代替 最大 模 ， 得 格式 如下 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
４ 数值 实验
本章 考虑 图像 的 去 噪 问题 ， 即 模糊 算子 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 单位 算子 （ ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 清晰 图像 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 来 表示 ， 像素点 为 ２５６ｘ２５６ ， 然后 对此 清晰 图像 添加 一个 均差 为 ０ ， 方差 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 高斯 白 噪音 ， 带 噪音 的 图像 我们 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 来 表示 ．
４．１ 选取 ｅｑｕａｔｉｏｎ 使得 信噪比 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 下面 是 图像 Ｉ 清晰 图像 和 竈 音 图像 【 图 １ 原始 图像 （ 左 ） 和 噪音 图像 （ 右 ） 】
在 去 噪 过程 中 ， 对 格式 （ ３．１ ） － （ ３．１０ ） ， 我们 选取 参数 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 迭代 系统 （ ２．７ ） 的 残量 记为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 不动点 迭代 停止 的 标准 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 图 ２ － ４ 给出 了 由 格式 （ ３．１ Ｈ３ ． １０ ） 恢复 的 图像 ： 【 图 ２ 由 格式 （ ３ ． １ ） － （ ３ ． ２ ） 恢复 的 图像 】 【 图 ３ 由 格式 （ ３．３ ） － （ ３．４ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） ． 和 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） 恢复 的 图像 ． （ 右 ） 】 【 图 ４ 由 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．９ ） － （ ３．１０ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】
从图 ２ － ４ 可以 看出 ， 所有 的 差分 格式 都 可以 很 好 的 恢复 图像 ． 为了 更好 的 看清楚 每个 格式 的 恢复 效果 ， 我们 从 图像 Ｉ 中 选取 一条 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 记 为 曲线 Ｉ ． 曲线 的 原始 图像 、 噪音 图像 和 恢复 图像 如图 ５ － ８ ： 【 图 ５ 原始 图像 （ 左 ） 和 噪音 图像 （ 右 ） 】 【 图 ６ 由 格式 （ ３ ． １ ） ？ （ ３ ． ２ ） 恢复 的 图像 】 【 图 ７ 由 格式 ． （ ３．３ ） — （ ３．４ ） 恢复 的 图像 ． （ 左 ） ． 和 （ ３．５ ） — （ ３．６ ） 恢复 的 图像 ． （ 右 ）
】 【 图 ８ 由 格式 （ ３．７ ） 〜 （ ３．８ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．９ ） ～ （ ３．１０ ） 恢复 的 图像 （ 石 ） 】
从图 ６ － ８ 可以 看到 ， 中心 差分 格式 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） 和 最大 差分 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 恢复 的 效果 是 比较 好 的 ， 尤其 是 最大 差分 格式 可以 更好 的 恢复 图像 的 边界 ．
４．２ 选取 ｅｑｕａｔｉｏｎ 使得 信噪比 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 图像 ＩＩ 的 原始 图像 和 加 噪音 的 图像 如下 图 所示 ： 【 图 ９ 原始 图像 （ 左 ） 程 噪音 图像 （ 右 ） 】
在 图像 ＩＩ 的 去 噪 过程 中 ， 我们 选取 与 图像 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一样 的 参数 ， 即 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 对 格式 （ ３．１ ） － （ ３．１０ ） ， 不动点 迭代 停止 的 标准 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
图 １０ － １２ 给出 了 由 格式 （ ３．１ ） － （ ３．１０ ） 恢复 的 图像 ： 【 图 １０ 由 格式 （ ３．１ ） － （ ３．２ ） 恢复 的 图像 】 【 图 １１ 由 格式 （ ３．３ ） － （ ３．４ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．５ ） — （ ３．６ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】 【 图 １２ 由 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．９ ） － （ ３．１０ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】
从图 １０ － １２ 可以 看出 ， 由 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） ， 最大 差分 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 可以 较 好 的 恢复 图像 ＩＩ ． 为了 更好 的 看清楚 每个 格式 的 恢复 效果 ， 与 图像 ｅｑｕａｔｉｏｎ 一样 ， 我们 选 一条 曲线 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 曲线 的 原始 图像 、 噪音 图像 和 恢复 图像 如图 １３ － １６ ． 【 图 １３ 原始 图像 （ 左 ） 和 噪音 图像 （ 右 ） 】 【 图 １４ 由 格式 （ ３．１ ）
〜 （ ３．２ ） 恢复 的 图像 】 【 图 １５ 由 格式 （ ３．３ ） － （ ３．４ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】 【 图 １６ 由 格式 （ ３．７ ） 〜 （ ３．８ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．９ ） 〜 （ ３．１０ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】
４．３ 选取 ｅｑｕａｔｉｏｎ 使得 信噪比 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
图 １７ 原始 图像 （ 左 ） 和 噪音 图像 （ 右 ） ， 图像 Ｉ Ｉ Ｉ 的 原始 图像 和 加 噪音 的 图像 如图 １ ７ ， 【 图 １ ７ 原始 图像 （ 左 ） 和 ： 噪音 图像 （ 右 ） 】
在 图像 ＩＩＩ 的 去 噪 过程 中 ， 选取 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 对 格式 （ ３．１ ） － （ ３．１０ ） ， 不动点 迭代 停止 的 标准 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 图 这 － ２ ０ 给出 了 由 格式 （ ３ ． １ ） － （ ３ ． １ ０ ） 恢复 的 图像 ： 【 图 １８ 由 格式 （ ３．１ ） － （ ３．２ ） 恢复 的 图像 】 【 图 １９ 由 格式 （ ３ ， ３ ） 一 （ ３．４ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） 和 （ ３．５ ） 一 （ ３．６ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】 【 图 ２０ 由 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 恢复 的 图像 （ 左 ） ． 和 （ ３．９ ） － （ ３ ， １０ ） 恢复 的 图像 （ 右 ） 】
由图 １８ － ２０ 可以 看出 ， 图像 的 边缘 有 不同 程度 的 模糊 ， 中心 差分 格式 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） 与 最大 差分 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 可以 较 好 的 恢复 图像 的 边界 ．
５ 结论
本文 对 图像去噪 的 ＲＯＦ 模型 的 非线性 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ 构造 了 几个 新 的 差分 格式 ． 对 图像 Ｉ － ＩＩＩ 分别 给出 了 原始 图像 、 噪音 图像 以及 恢复 后 的 图像 ． 数值 实验 表明 中心 差分 格式 （ ３．５ ） － （ ３．６ ） 与 最大 差分 格式 （ ３．７ ） － （ ３．８ ） 可以 更好 的 对 噪音 图像 进行 恢复 ．
参考文献

Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 的 一个 改进 的 Ｂｅａｌｅ － Ｋａｔｏ － Ｍａｊｄａ 准则
叶专
（ 江苏 师范大学 数学 与 统计 学院 ， 徐州 ２２１１１６ ）
摘要 本文 研究 具有 分数 阶 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 光滑 解 的 正则 性 准则 ． 我们 证得 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 的 一个 改进 的 Ｂｅａｌｅ － Ｋａｔｏ － Ｍａｊｄａ 准则 ． 作为 一个 特殊 情形 ， 我们 的 定理 包含 了 Ｐｌａｎｃｈｏｎ 所 获得 有关 不可 压缩 Ｅｕｌｅｒ 方程 的 结果 ．
关键词 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 ； 分数 阶 耗散 ； 正则 性 准则
１ 引言
本文 我们 考虑 如下 具有 分数 阶 耗散 的 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 实 参数 ． 分数 阶 算子 净 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 通过 傅立叶 变换 来 定义 的 ， 即 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 物理 上 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 速度 向量场 ， 标量 函数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 温度 ， 标量 函数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 压力 以及 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 用于 模拟 地球物理 流 ， 例如 作为 大气 锋 和 海洋 环流 ．
由于 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 物理 应用 和 数学 意义 ， 近年来 引起 了 人们 的 广泛 关注 ． 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， Ｃｈａｅ 证明 了 二维 （ １．１ ） 的 整体 正则 性 ． 通过 深入研究 耦合 系统 ， Ｈｍｉｄｉ － Ｋｅｒａｎｉ － Ｒｏｕｓｓｅｔ 获得 了 （ １．１ ） 具有 特殊 临界 情形 （ 即 ｅｑｕａｔｉｏｎ ） 的 整体 正则 性 ． 其它 一般 临界 结果 参见 ［ ５ ， ６ ］ ， 关于 二维 和 高维 具有 部分 耗散 、 分数 阶 耗散 的 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 整体 适 定性 问题 可以 参见 ［ ７ － １５ ］ ， 然而 ， 高维 无 粘 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 （ 即 ｅｑｕａｔｉｏｎ ） 的 整体 正则 性 仍然 是 流体 动力学 中 一个 公开 问题 ． 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， Ｆａｎ － Ｚｈｏｕｌ１６ 证明 了 如下 正则 性 准则 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 这 改进 了 众所周知 的 Ｂｅａｌｅ － Ｋａｔｏ － Ｍａｊｄａ 准则 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 这里 以及 后续 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 流体 的 涡度 ． 最近 ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 我们 在 ［ １８ ］ 获得 了 任意 维数 的 如 上 正则 性 准则 ． 二维 和 高维 的 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 的 许多 其它 正则 性 可以 参见 ［ １９ － ３０ ］ ，
本文 我们 证明 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 （ １．１ ） 的 一个 改进 的 Ｂｅａｌｅ － Ｋａｔｏ － Ｍａｊｄａ 准贝 ｌｊ ． 现在 我们 陈述 本文 的 主要 定理 ．
定理 １．１ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 以及 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 （ １．１ ） 的 局部 光滑 解 ． 如果 存在 一个 绝对 常数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 使得 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 并且 局部 ｅｑｕａｔｉｏｎ 可以 延拓 过 时间 ｔｅｑｕａｔｉｏｎ ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 局部 解 ｅｑｕａｔｉｏｎ 可以 拖延 过 时间 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 注 １．１ 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， （ １．１ ） 退化 成 如下 不可 压缩 Ｅｕｌｅｒ 方程 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 对于 （ １．３ ） ， Ｐｌａｎｃｈｏｎ 证得 爆破 准则 （ １．２ ） ， 这 改进 了 之前 的 工作 ． 因此 ， 我们 的 定理 包含 了 Ｐｌａｎｃｈｏｎｔ 所 获得 有关 不可 压缩 Ｅｕｌｅｒ 方程 的 结果 ． 注 １．２ 如上所述 ， 我们 在 ［ １８ ］ 获得 如下 正则 性 准则 ： ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由 简单 嵌入 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 不难 验证 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 因此 ， 定理 １．１ ［ １８ ］ 的 结果 ． 注 １．３ 对于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 应 属于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 事实上 ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 存在 整体 光滑 解 （ 见 ［ ４ ］ ） 最后 ， 我们 将 关注 如下 零 扩散 分数 阶 Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． Ｃｈａｅ 和 Ｈｏｕ － Ｌｉ 独立 证明 了 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， （ １．４ ） 具有 整体 光滑 解 ． 另一方面 ， 这个 结果 被 Ｈｍｉｄｉ － Ｋｅｒａａｎｉ － Ｒｏｕｓｓｅｔｌ 极大 的 改进 ， 他们 证明 了 （ １．４ ） 具有 整体 光滑 解只 需 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 对于 高维 情形 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， （ １．４ ） 具有 整体 光滑 解 ， 参见 ［ １５ ］ ， 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 许多 正则 性 准则 已经 得到 ， 我们 作 如下 归纳 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ （ ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， ｅｑｕａｔｉｏｎ （ 对于 一些 充分 小 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ） ， 类似 于 定理 １．１ 的 证明 ， 我们 获得 如下 爆破 准则 ．