亚纯 函数 的 差分 多项式
张然然 黄志波
本文 ２０１８ 年 １ 月 ５ 日 收到 ， ２０１８ 年 １０ 月 ７ 日 收到 修改稿 ．
１ 广东 第二 师范学院 数学系 ， 广州 ５１０３０３ ．
２ 通信 作者 ． 华南 师范大学 数学 科学 学院 ， 广州 ５１０６３１ ．
［ 本文 受到 国家自然科学基金 （ Ｎｏ ． １１８０１０９３ ， Ｎｏ ． １１８７１２６０ ） 和 广东省 自然科学 基金 （ Ｎｏ ． ２０１６Ａ０３０３１３７４５ ， Ｎｏ ． ２０１８Ａ０３０３１３５０８ ） 的 资助 ． ］
提要 假设 函数 ？ 是 亚纯 函数 ， 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 多项式 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 考察 了 差分 多项式 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 零点 分布 问题 ． 首先 得到 了 差分 多项式 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 零点 计数 函数 和 函数 ｆ （ ｚ ） 的 特征函数 以及 极点 计数 函数 之间 的 一些 不等式 估计 ， 再 根据 这些 不等式 ， 建立 了 Ｈａｙｍａｎ 关于 亚纯 函数 的 一个 经典 结果 的 差分 模拟 ．
关键词 差分 多项式 ， 亚纯 函数 ， 值 分布
１ 引言
本文 使用 Ｎｅｖａｎｌｉｎｎ 值 分布 理论 的 标准 记号 ， 并用 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 分别 表示 亚纯 函数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 级 和 超级 ， 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 表示 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ 亏量 ．
许多 学者 已经 获得 亚纯 函数 微分 多项式 的 值 分布 方面 的 许多 结果 ． 特别 地 ， Ｈａｙｍａｎ 证明 了 下面 的 定理 Ａ 和 Ｂ ．
定理 Ａ 如果 ？ 是 超越 整 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 至多 除去 ０ 外 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 取 任何 有穷 复数 无穷 多次 ．
定理 Ｂ 如果 ？ 是 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 至多 除去 ０ 外 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 取 任何 有穷 复数 无穷 多次 ．
随着 亚纯 函数 Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ 值 分布 理论 差分 模拟 的 建立 ， 许多 学者 研究 整 函数 差分 多项式 的 值 分布 ． 定理 Ｃ 可以 看作 定理 Ａ 的 差分 模拟 ．
定理 Ｃ 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 有 穷级 超越 整 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 一非 零 复数 ， 那么 对 所有 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 取 任何 非零 复数 无穷 多次 ．
但是 ， 对于 亚纯 函数 而言 ， 定理 Ｂ 的 差分 模拟 不 一定 成立 ． 例如 ， 取 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 则 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不能 取值 １ ．
一个 自然 的 问题 是 ： 如果 用 ｅｑｕａｔｉｏｎ 代替 定理 Ｂ 中 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 一非 零 复数 ， 能 得到 什么 结果 ？ 为此 ， 李效敏 和 刘凯 等 人 证明 了 如下 结果 ．
定理 Ｄ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 有 穷级 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 一非 零 复数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 整数 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 多项式 ， 那么 当 ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 其中 Ｅ 是 一个 具有 有穷 对数 测度 的 集合 ．
定理 Ｅ 假设 化 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 有 穷级 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 一非 零 复数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 整数 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 多项式 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 有 无穷 多个 零点 ．
关于 定理 Ｄ 和 Ｅ ， 我们 提出 下面 ３ 个 问题 ．
问题 １ 是否 可以 用 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一般 差分 多项式 代替 了 ｅｑｕａｔｉｏｎ ？
问题 ２ 定理 Ｅ 中 条件 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是否 可以 减弱 ？
问题 ３ 运用 定理 Ｄ ， 推 不 岀 定理 Ｃ ， 因此 定理 Ｄ 不是 定理 Ｃ 的 直接 推广 ． 是否 可以 将 定理 Ｃ 直接 推广 到 一般 的 亚纯 函数 ？
２ 主要 结论
为了 叙述 方便 ， 我们 介绍 一些 记号 ．
亚纯 函数 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 多项式 定义 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 指标 集 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 复 常数 ， ＭＡＪ 是非 负 整数 ， 系数 Ｓ （ ｚ ） （ 尹 ０ ） 是 关于 ／ （ ｚ ） 的 小 函数 ． 单项式 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 次数 定义 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 多项式 Ｈ （ ｚ ” ） 的 次数 定义 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 多项式 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 不同 的 膈 表示 为 如 ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ
针对 引言 中 的 ３ 个 问题 ， 本文 作者 利用 与 文 不同 的 方法 ， 得到 一系列 结论 ． 定理 ２．１ 和 推论 ２．１ 解决 了 问题 １ 和 ３ ， 而 推论 ２．２ 、 定理 ２．２ 和 定理 ２．３ 及其 推论 ， 部分 回答 了 问题 ２ ．
定理 ２．１ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 （ ２．１ ） 的 差分 多项式 且 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 不同 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 分别 如 （ ２．３ ） 和 （ ２．４ ） 所 定义 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
根据 定理 ２．１ ， 有 下面 的 推论 ．
推论 ２．１ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 （ ２．５ ） 的 差分 单项式 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 特别 地 ， 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ
定理 ２．１ 和 推论 ２．１ 将 定理 Ｄ 推广 到 了 差分 多项式 ， 且 是 定理 Ｃ 的 直接 推广 ． 进一步 ， 运用 推论 ２．１ 可以 得到 推论 ２．２ ， 这是 减弱 定理 Ｅ 中 条件 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 一种 形式 ．
推论 ２．２ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是非 零复 常数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 有 无穷 多个 零点 ．
对于 差分 单项式 （ ２．５ ） ， 如果 其 极点 、 零点 满足 一些 额外 条件 ， 可以 得到 下面 的 定理 ．
定理 ２．２ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 单项式 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ． 又 假设 除去 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 有 穷 多个 例外 的 极点 和 零点 外 ， 其他 的 极点 切 和 零点 与 都 满足 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
推论 ２．３ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是非 零 复数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ． 又 假设 除去 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 有 穷 多个 例外 的 极点 和 零点 外 ， 其他 的 极点 切 和 零点 与 都 满足 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 有 无穷 多个 零点 ． 最后 ， 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 具有 两个 Ｂｏｒｅｌ 例外 值 的 假设 下 ， 给出 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 零点 估计 ， 得到 下面 的 定理 ．
定理 ２．３ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 有 穷级 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 两个 Ｂｏｒｅｌ 例外 值 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 （ ２．１ ） 的 差分 多项式 且 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 不同 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 如 （ ２．２ ） 和 （ ２．３ ） 所 定义 ， ｎ 是 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 则 有 （ ｉ ） 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 却且 ｅｑｕａｔｉｏｎ 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． （ ｉｉ ） 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
由 定理 ２．３ 可知 ， 如果 亚纯 函数 有 两个 不同 的 Ｂｏｒｅｌ 例外 值 ， 那么 可以 将 问题 ２ 中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 减弱 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ” ， 见 如下 推论 ．
推论 ２．４ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 有 穷级 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 两个 Ｂｏｒｅｌ 例外 值 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是非 零 复数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 正整数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ． 如果 下面 两个 条件 之一 成立 ： （ ｉ ） ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ； （ ｉｉ ） ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 有 无穷 多个 零点 ．
３ 定理 ２．１ 的 证明
为了 证明 定理 ２．１ ， 需要 如下 的 引理 ．
引理 ３．１ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 非常 数亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 如果 ａｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 对 所有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 Ｅ 是 一个 具有 有穷 对数 测度 的 集合 ．
根据 文 、 文 、 文 ， 可以 推出 引理 ３．２ ．
引理 ３．２ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 非常 数亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是非 零 复数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 利用 对数 导数 引理 ， 并 将 引理 ３．１ 运用 到文 的 定理 ２．３ ， 可以 得到 下面 的 引理 ．
引理 ３．３ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 微分 差分 方程 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯解 ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 差分 多项式 且 其 系数 为 小 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 微分 差分 多项式 且 其 系数 的 均值 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 又 设 ｅｑｕａｔｉｏｎ ； ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ 仅 有 一个 次数 最高 的 项 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
利用 文 或者 文 类似 的 证明 方法 ， 得到 下面 的 定理 ．
引理 ３．４ 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 超级 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 超越 亚纯 函数 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 （ ２．１ ） 的 差分 多项式 且 具有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 不同 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 形如 （ ２．５ ） 的 差分 单项式 ． 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 郁么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 根据 文 ， 得到 下面 的 定理 ．
引理 ３．５ 假设 了 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ．．． ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 亚纯 函数 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 一 指标 集 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
定理 ２．１ 的 证明 令 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 我们 断言 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 否则 ， 如果 枫 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 利用 （ ３．１ ） 并 比较 （ ３．４ ） 两边 的 特征函数 ， 可以 推出 矛盾 ． 微分 （ ３．３ ） 两边 ， 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 方程 （ ３．３ ） 两边 同 乘以 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由 （ ３．５ ） 和 （ ３．６ ） 计算 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 我们 断言 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 否则 ， 根据 （ ３．７ ） 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 从而 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 其中 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是非 零常 ． 再 由 引理 ３．３ 和 （ ３．７ ） ， 得到 ．
下面 估算 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 根据 （ ３．８ ） ， 我们 注意 到 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 来源于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 记 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 共同 极点 的 计数 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 重数 按 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 重数 计算 ； ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 的 共同 极点 同时 不是 ； ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 的 计数 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 重数 按 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 重数 计算 ； ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 的 共同 极点 同时 既 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 也 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 的 计数 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 重数 按 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 重数 计算 ． 从而 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ．
如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 由 （ ３．７ ） ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 至多 有单 极点 ， 我们 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ 必为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由此 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 因此 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 而是 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 由 （ ３．８ ） 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 至多 有单 极点 ， 我们 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
再记 ｅｑｕａｔｉｏｎ 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 的 极点 同时 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 的 计数 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 重数 按 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 的 重数 计算 ； ｅｑｕａｔｉｏｎ 在 ｅｑｕａｔｉｏｎ 内 的 极点 同时 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 的 不同 极点 计数 函数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 每个 极点 只 计算 一次 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
我们 将 证明 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
将 ｅｑｕａｔｉｏｎ 中 不同 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ 记为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ．．． ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 如果 对 所有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ．．． ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 都 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不 包含 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 且 由 （ ２．４ ） 知 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 又 由于 的 次数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 且 其 系数 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 根据 引理 ３．５ 可以 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 再 由 引理 ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如果 对 某个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 由 （ ２．４ ） 知 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 又 由于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 次数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 且 其 系数 是 关于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 小 函数 ， 根据 引理 ３．５ 可以 推 岀 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
再 由 引理 ３．２ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 因此 ， （ ３．１５ ） 成立 ． 类似 地 ， 可以 证明 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 既 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 又 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 必为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 由于 调 至多 只有 单 极点 ， 从 （ ３．８ ） 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 又 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 来源于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 和 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 零点 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 由 （ ３．３ ） 知 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 必为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 因此 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 从而 ， 由 （ ３．１１ ） － （ ３．１７ ） 推 岀 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由 （ ３．７ ） 和 （ ３．１０ ） 得到 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由于 Ｈ （ ｚ ， ｆ ） 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ 个 不同 的 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 如 （ ２．４ ） 所 定义 ， 我们 从 （ ３．３ ） 和 引理 ３．２ 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
从而 由 （ ３．１８ ） — （ ３．２０ ） 推导 出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
定理 ２．１ 证毕 ．
４ 定理 ２．２ 的 证明
令 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 由于 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 我们 由 （ ３．２ ） 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 又 由于 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 特殊 形式 ， 故 （ ３．５ ） － （ ３．１２ ） 仍然 成立 ， 其中 由 ｅｑｕａｔｉｏｎ 来 代替 ． 下面 针对 （ ３．１２ ） 的 各项 进行 讨论 ． 设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 类似 于 （ ３．１３ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 但 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 对 某个 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 必为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 从而 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 由于 除去 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 有 穷 多个 例外 的 极点 和 零点 外 ， 其他 的 极点 和 零点 Ｚｊ 都 滴足 ｅｑｕａｔｉｏｎ ； ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 假设 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 零点 ． 因此 ， 估计 ｅｑｕａｔｉｏｎ 时 ， 可能 有 误差 项 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 又 因为 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 所以 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 根据 （ ３．７ ） ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 单 极点 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 或者 ｅｑｕａｔｉｏｎ 是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 重数 为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ． 因而 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
由 引理 ３．２ 知 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
如果 ｅｑｕａｔｉｏｎ 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 也 不是 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ， 那么 ｅｑｕａｔｉｏｎ 必为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 的 极点 ． 由 （ ３．１７ ） 类似 的 推导 可知 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 结合 （ ３．１１ ） ， （ ３．１２ ） 和 （ ４．１ ） － （ ４．３ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， 再 由 （ ３．７ ） 和 （ ３．１０ ） ， 有 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
因为 ｅｑｕａｔｉｏｎ 且 ｅｑｕａｔｉｏｎ ， ．．． ， ｅｑｕａｔｉｏｎ 为 不同 的 非零复 常数 ， 所以 由 引理 ３．２ 知 ， ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
于是 ， 由 （ ４．４ ） － （ ４．６ ） 可以 推出 ｅｑｕａｔｉｏｎ ．
定理 ２．２ 证毕 ．